买书问题

1. 问题描述

　　上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

　　问题：要求根据这样的需求，设计出算法，能够计算出读者所购买一批书的最低价格。

2. 问题分析：

       优化问题一般采用动态规划、贪心算法、分支限界这些思路进行，直到找到最优解！！

 贪心策略

  当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

  当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买 最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买剩下的书则按照全价购买。

       如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

       结论：贪心策略不可取

 

动态规划

         要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

        五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递减（递增），从而方便讨论。

         要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

（X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。X1 >= X2 >= X3 >= X4 >= X5F（X1，X2，X3，X4，X5）=0  ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{                           5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）  //x5 >= 1                           4*8*(1-20%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5）    //x4 >= 1                           3*8*(1-10%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4，X5）      //x3 >= 1                           2*8*(1-5%) +F（X1-1，X2-1，X3，X4，X5）         //x2 >= 1                           8 +F（X1-1，X2，X3，X4，X5）                    //x1 >= 1                           }

 

3. 动态规划java源码：

package chapter1youxizhileBuybook;import java.util.ArrayList;import java.util.List;/** * 买书问题 * @author DELL * */public class BuyBook1 {    private double discount[];  //买书本数的折扣（从1本开始，增序排列）    private double price;  //书的价格每本书都一样        //构造函数    public BuyBook1(double discount[],double price){        this.discount = discount;        this.price = price;    }    /**     * 插入排序     * 排序结果为从大到小     * @param a     */    private void insertSort(int a[]){         int temp,i,j;        for(i=1;i
     
      =0)&&(a[j]
      
        list = new ArrayList
       
        (); //用于存放各种情况的价格        if(a[4]>=1){            i=4;            double x = (i+1)*price*(1-discount[i])+minPrice(a[0]-1,a[1]-1,a[2]-1,a[3]-1,a[4]-1);            list.add(x);                        }        if(a[3]>=1){            i=3;            double x = (i+1)*price*(1-discount[i])+minPrice(a[0]-1,a[1]-1,a[2]-1,a[3]-1,a[4]);            list.add(x);                        }        if(a[2]>=1){            i=2;            double x = (i+1)*price*(1-discount[i])+minPrice(a[0]-1,a[1]-1,a[2]-1,a[3],a[4]);            list.add(x);                        }        if(a[1]>=1){            i=1;            double x = (i+1)*price*(1-discount[i])+minPrice(a[0]-1,a[1]-1,a[2],a[3],a[4]);            list.add(x);                        }        if(a[0]>=1){            i=0;            double x = (i+1)*price*(1-discount[i])+minPrice(a[0]-1,a[1],a[2],a[3],a[4]);            list.add(x);                        }        Double mv[];        mv = new Double[list.size()];        list.toArray(mv);    //将列表转换为数组        return min(mv);  //返回最小值    }    public static void main(String[] args) {//        int a[] = {2,2,2,1,1};  //买书卷数        double discount[] = {0,0.05,0.1,0.2,0.25}; //折扣        double price = 8;  //每本书的价格        BuyBook1 book = new BuyBook1(discount,price);        System.out.println("最低价格为："+book.minPrice(2,2,2,1,1));    }}
       
      
     

程序运行结果如下：

最低价格为：51.2